Na, zu welchem Ergebnis bist Du gekommen?
Die richtige Lösung ist
WECHSELN.
Denn dann hast Du eine Wahrscheinlichkeit von 2/3, dass Du gewinnst.
Wenn Du bei Deiner ersten Tür bleibst, ist die Chance nur 1/3.
Das Ziegenproblem. Die Begründungen
Variante 1
Bei deinem ersten Tipp hast Du mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 (also 1:2) auf das Auto getippt.
Wenn der Quizmaster nun eine der anderen Türen öffnet, ändert sich dadurch nicht die Wahrscheinlichkeit deines Tipps,
also bleibt es dabei, dass du mit einer W. von 2/3 NICHT auf den Gewinn getippt hast,
also in 2/3 aller Fälle das Auto hinter den anderen Türen ist. Eine dieser Türen hat der Quizmaster eleminiert, also ist das Auto in 2/3 aller Fälle hinter der verbleibenden Tür.
Variante 2
Da dir bei deinem ersten Tipp alle drei Türen gleich erscheinen, lass uns zur Vereinfachung davon ausgehen, dass du die erste Tür wählst. Wir haben nun drei Fälle zu unterscheiden, die alle gleichwahrscheinlich sind:
Der Gewinn ist hinter der
- Tür (A Z Z)
- Tür (Z A Z)
- Tür (Z Z A)
Das A steht für das Auto, die Z für die Ziegen.
Fall 1: Da du auf Tür 1 getippt hast, öffnet der Quizmaster dir eine der beiden Türen.
Wenn du auf die verbleibende Tür wechselst, verlierst Du
Fall 2: Da du auf Tür 1 getippt hast, kann der Quizmaster nur Tür 3 öffnen.
Wenn du auf die verbleibende Tür 2 wechselst, gewinnst Du
Fall 3: Da du auf Tür 1 getippt hast, kann der Quizmaster nur Tür 2 öffnen.
Wenn du auf die verbleibende Tür 3 wechselst, gewinnst Du
Du gewinnst also in 2 von 3 Fällen bei Wechsel. Würdest du nicht wechseln, würdest du also in 2 von 3 Fällen verlieren.
Bei der Strategie „Egal, welche Tür ich nehme“ wählst du völlig unabhängig von dem, was du getippt hattest und was der Quizmaster dir gezeigt hat, aus den beiden geschlossenen Türen eine aus.
Damit hast du nur eine Chance von 1:1, also schlechter als bei Wechsel. Das schlechteste, was du machen kannst, ist bei deinem Tipp zu bleiben.
Variante 3
Nachdem du eine der drei Türen gewählt hast, teile die Menge aller Türen in zwei Gruppen (in Gedanken natürlich).
Die erste Gruppe (A) enthält nur deine zuerst gewählte Tür. Die andere Gruppe (B) enthält die anderen beiden Türen.
In das Auto eher in Gruppe A oder B? Natürlich eher in B mit einer Wahrscheinlichkeit von 2:1.
Nun schränkt der Quizmaster durch Öffnen einer Tür (Niete) die Gruppe B weiter ein.
Sollte sich das Auto in Gruppe B befinden, muss es hinter der verbleibenden Tür sein – immer noch mit der gleichen Wahrscheinlichkeit 2:1.
Variante 4
- Wir sind uns einig, dass ich beim ersten Versuch mit einer doppelt so
großen Wahrscheinlichkeit ne Ziege habe wie das Auto.Also liege ich wahrscheinlicher falsch! - Der Quizmaster macht eine falsche Tür auf, d.h. die andere Ziege ist
entweder hinter meiner Tür oder hinter der übrigen!
Aus eins kann man schließen, dass es wahrscheinlicher ist, dass die Ziege
hinter meiner Tür steht, also WECHSELN!
Variante 5
Stell dir vor, es gäbe nicht drei, sondern 1000 Türen. Du wählst eine Tür
aus.
Nun öffnet der Quizmaster 998 Türen, hinter denen sich nur Ziegen
befinden. Es verbleiben also zwei Türen.
Willst du wechseln? Oder bist du dir sicher, dass du das Auto direkt im ersten Versuch getroffen hast?
to be continued 🙂